Question

已知拋物線L：
（1）證明：不論k取何值，拋物線L的頂點C總在拋物線上；
（2）已知時，拋物線L和x軸有兩個不同的交點A、B，求A、B間距取得最大值時k的值；
（3）在（2）A、B間距取得最大值條件下（點A在點B的右側），直線y=ax+b是經過點A，且與拋物線L相交于點D的直線. 問是否存在點D，使△ABD為等邊三角形，如果存在，請寫出此時直線AD的解析式；如果不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）見解析（2）2（3）存在，理由見解析解析:
（1）拋物線L的頂點坐標C是（，）……2分
將頂點坐標C代入
左邊=
右邊==  
左邊=右邊
所以無論k取何值，拋物線L的頂點C總在拋物線上. ……3分
（2）已知時，拋物線L和x軸有兩個不同的交點A、B
設，，
依題意   ……5分


由此可知，當k=-2時，AB達到最大值，
而k=-2恰好在內，
所以A、B間距取得最大值時k的值為2  ……8分
(3)存在。       ……9分
因為若△ABD是等邊三角形，則點D應在線段AB的垂直平分線上，即在此拋物線的對稱軸上。又因為點D在拋物線上，所以若滿足條件的D存在，點D應是此拋物線的頂點..
當k=-2時，拋物線L為 ，頂點D（-2，-3）
解方程，得，
所以（），（）
如圖，在△ABD中，DB=DA
D為AB中點， AB=，
∴AD=，
∴∠BAD=60°
∴△ABD為等邊三角形    ……12分
因為直線在（）、D（）D，所以依題意
把k=2代入
解得，
所以所求為……14分
（2）方法二：設，，
由根與系數關系，得， ……6分
[來源:學,科,網Z,X,X,K]
 
由此可知，當k=-2時，AB達到最大值，
而k=-2恰好在內，
所以A、B間距取得最大值時k的值為2  ……8分
（1）利用頂點坐標求證
（2）設，，求出AB 的長，從而求出k的值
（3）因為若△ABD是等邊三角形，則點D應在線段AB的垂直平分線上，即在此拋物線的對稱軸上。又因為點D在拋物線上，所以若滿足條件的D存在，點D應是此拋物線的頂點，通過AB的長求出AD的長，通過（）、D（），求出直線AD的解析式