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(2009•梅州一模)如圖,直線l上擺放有等腰△PQR和梯形ABCD,∠PQR=120°,PR=6cm,AD∥BC,AB=AD=DC=2cm,BC=4cm.解答下列問題:
(1)旋轉:將△PQR繞點P順時針方向旋轉150°得到△PQ1R1,則
RR1
的長等于

(2)翻折:將△PQ1R1沿過點R1且與直線l垂直的直線翻折,得到翻折后的對應圖形△R1Q2P1,試判斷四邊形PQ1Q2P1的形狀,并說明理由;
(3)平移:設P1、B兩點重合時,等腰△R1Q2P1以1cm/秒的速度沿直線l向右勻速運動,t 秒時梯形ABCD與等腰△R1Q2P1重合部分的面積記為S.當0<t≤6時,求S與t的函數關系式,并指出S的最大值.
分析:(1)直接根據弧長公式進行計算即可;
(2)由圖形旋轉的性質可知∠RPQ=∠PR1Q1=∠Q2R1P1=30°,根據平行線的判定定理可知PQ1∥R1Q2,進而可得出四邊形PQ1Q2R1是平行四邊形,故可得出結論;
(3))①當0<t≤4時,BP1=t,∠KP1B=30°,∠ABP1=60°,由銳角三角函數的定義及特殊角的三角函數值可用t表示出KB,KP1的值,利用三角形的面積公式即可得出結論;
當4<t≤6時,BR1=6-t,CP1=t-4,再根據相似三角形的性質用t表示出△Q2R1P1、△MR1B及△CP1N的面積,根據S=S△Q2R1P1-S△BR1M-S△CP1N=S△Q2R1P1
即可得出結論.
解答:解:(1)∵PR=6cm,將△PQR繞點P順時針方向旋轉150°后
RR1
是以點P為圓心,以PR為半徑,圓心角是150°的一段弧,
RR1
=
150π×6
180
=5πcm;

(2)四邊形PQ1Q2P1是等腰梯形.
理由:∵∠PQR=120°,
∴∠RPQ=∠PR1Q1=∠Q2R1P1=30°,
∴PQ1∥R1Q2,由折疊的性質可得Q1P=Q2R1=P1Q2
∴四邊形PQ1Q2R1是平行四邊形,
∴四邊形PQ1Q2P1是等腰梯形.

(3)①當0<t≤4時,如圖1,依題意有:BP1=t,∠KP1B=30°,∠ABP1=60°,
∴P1K⊥BK,
∴KB=
1
2
BP1=
1
2
t,KP1=
3
2
BP1=
3
2
t,
∴S=
1
2
BK•KP1=
3
8
t2
∴當t=4時,最大值為2
3
cm3

②當4<t≤6時,如圖2,依題意有:BR1=6-t,CP1=t-4,
∵△Q2R1P1∽△MR1B∽△CP1N,
SBR1M
S△Q 2R1P1
=(
BR1
R1Q2
2=(
6-t
2
3
2
S△CP1N
SQ2R1P1
=(
CP1
R1Q2
2=(
t-4
2
3
2
∴S=S△Q2R1P1-S△BR1M-S△CP1N=S△Q2R1P1
=[1-(
6-t
2
3
2-(
t-4
2
3
2]
=-
3
2
(t-5)2+
5
3
2

∴當t=5時,最大值為
5
3
2
cm2

綜上所述,面積最大值為
5
3
2
cm2

點評:本題考查的是翻折變換,涉及到相似三角形的判定與性質、二次函數的性質及旋轉的性質、弧長公式等,綜合性較強,難度較大.
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