Question

如圖，正比例函數y=kx（k≠0）的圖象與反比例函數的圖象交于A、B兩點，作AC⊥Ox軸于C，△AOC的面積是24，且cos∠AOC=，點N的坐標是（-5，0），求：
（1）反比例函數與正比例函數的解析式；
（2）求△ANB的面積；
（3）根據圖象，直接寫出關于x的不等式的解集．

Answer 1

【答案】分析：（1）由cos∠AOC=，根據三角函數的定義得到OC：OA=4：5，設OC=4x，則OA=5x，利用勾股定理計算出AC=3x，然后根據三角形的面積公式得到•3x•4x=24，x=2，于是得到A點坐標為（8，-6），然后把A（8，-6）分別代入正比例函數y=kx（k≠0）與反比例函數中，即可確定它們的解析式；
（2）由于A點與B點關于原點對稱，則B點坐標為（-8，6），然后利用S_△ANB=S_△ONB+S_△ONA進行計算即可；
（3）觀察圖象可得當x＜-8或0＜x＜8時，正比例函數y=kx（k≠0）的圖象都在反比例函數的圖象的上方，于是得到的解集．
解答：解：（1）如圖
在Rt△AOC中，cos∠AOC=，
∴OC：OA=4：5，
設OC=4x，則OA=5x，
∴AC==3x，
∴•3x•4x=24，
∴x=2，
∴OC=8，AC=6，
∴A點坐標為（8，-6），
把A（8，-6）代入，得m=-6×8=-48，
把A（8，-6）代入y=kx，得k=-，
∴反比例函數與正比例函數的解析式分別為y=-，y=-x；

（2）∵正比例函數y=kx（k≠0）的圖象與反比例函數的圖象交于A、B兩點，
∴B點坐標為（-8，6），
S_△ANB=S_△ONB+S_△ONA=×5×6+×5×6=30；

（3）x＜-8或0＜x＜8．
點評：本題考查了反比例函數與一次函數的交點問題：反比例函數與一次函數的交點坐標同時滿足兩個函數的解析式．也考查了三角形面積公式、待定系數法求函數的解析式．