Question

如圖，直線AB經過⊙O上的點C，并且OA=OB，CA=CB，⊙O交直線OB于E，D，連接EC，CD．
（1）求證：直線AB是⊙O的切線；
（2）試猜想BC，BD，BE三者之間的等量關系，并加以證明；
（3）若tan∠CED=

1

2

，⊙O的半徑為3，求OA的長．

Answer 1

分析：（1）連接OC，根據等腰三角形的性質易得OC⊥AB；即可得到證明；
（2）易得∠BCD=∠E，又有∠CBD=∠EBC，可得△BCD∽△BEC；故可得BC²=BD•BE；
（3）易得△BCD∽△BEC，BD=x，由三角形的性質，易得BC²=BD•BE，代入數據即可求出答案．

解答：（1）證明：如圖，連接OC，（1分）
∵OA=OB，CA=CB，
∴OC⊥AB，（2分）
∴AB是⊙O的切線．（3分）

（2）解：BC²=BD•BE．（4分）
證明：∵ED是直徑，
∴∠ECD=90°，
∴∠E+∠EDC=90°．
又∵∠BCD+∠OCD=90°，∠OCD=∠ODC（OC=OD），
∴∠BCD=∠E．（5分）
又∵∠CBD=∠EBC，
∴△BCD∽△BEC．（6分）
∴

BC

BE

=

BD

BC

．
∴BC²=BD•BE．（7分）

（3）解：∵tan∠CED=

1

2

，
∴

CD

EC

=

1

2

．
∵△BCD∽△BEC，
∴

BD

BC

=

CD

EC

=

1

2

．（8分）
設BD=x，則BC=2x，
∵BC²=BD•BE，
∴（2x）²=x•（x+6）．（9分）
∴x₁=0，x₂=2．
∵BD=x＞0，
∴BD=2．
∴OA=OB=BD+OD=3+2=5．（10分）

點評：本題考查常見的幾何題型，包括切線的判定，線段等量關系的證明及線段長度的求法，要求學生掌握常見的解題方法，并能結合圖形選擇簡單的方法解題．