Question

如圖，直線AB經過⊙O的圓心，與⊙O相交于點A、B，點C在⊙O上，且∠AOC=30°，點P是直線AB上的一個動點（與O不重合），直線PC與⊙O相交于點Q，問：點P在直線AB的什么位置上時，QP=QO？這樣的點P共有幾個？并相應地求出∠OCP的度數．

Answer 1

分析：點P是直線l上的一個動點，因而點P與線段AO有三種位置關系，在線段AO上，點P在OB上，點P在OA的延長線上．分這三種情況進行討論即可．

解答：解：①根據題意，畫出圖①，
在△QOC中，OC=OQ，
∴∠OQC=∠OCQ，
在△OPQ中，QP=QO，
∴∠QOP=∠QPO，
又∵∠QPO=∠OCQ+∠AOC，∠AOC=30°，∠QOP+∠QPO+∠OQC=180°，
∴3∠OCP=120°，
∴∠OCP=40°．

②當P在線段OA的延長線上（如圖②）
∵OC=OQ，∴∠OQP=

180°-∠QOC

2

①，
∵OQ=PQ，
∴∠OPQ=

180°-∠OQP

2

②，
在△OQP中，30°+∠QOC+∠OQP+∠OPQ=180°③，
把①②代入③得∠QOC=20°，則∠OQP=80°
∴∠OCP=100°；

③當P在線段OA的反向延長線上（如圖③），
∵OC=OQ，
∴∠OCP=∠OQC=

180°-∠COQ

2

①，
∵OQ=PQ，
∴∠P=

180°-∠OQP

2

②，
∵∠AOC=30°，
∴∠COQ+∠POQ=150°③，
∵∠P=∠POQ，2∠P=∠OCP=∠OQC④，
①②③④聯立得
∠P=10°，
∴∠OCP=180°-150°-10°=20°．

點評：考查了圓的認識和等腰三角形的性質，注意：分三種情況進行討論是解決本題的關鍵．