Question

（2012•順義區二模）如圖，直線AB經過第一象限，分別與x軸、y軸交于A、B兩點，P為線段AB上任意一點（不與A、B重合），過點P分別向x軸、y軸作垂線，垂足分別為C、D．設OC=x，四邊形OCPD的面積為S．
（1）若已知A（4，0），B（0，6），求S與x之間的函數關系式；
（2）若已知A（a，0），B（0，b），且當x=

3

4

時，S有最大值

9

8

，求直線AB的解析式；
（3）在（2）的條件下，在直線AB上有一點M，且點M到x軸、y軸的距離相等，點N在過M點的反比例函數圖象上，且△OAN是直角三角形，求點N的坐標．

Answer 1

分析：（1）利用待定系數法求出直線AB的解析式，表示出點P的坐標，利用舉行的面積公式就可以求出S與x之間的函數關系式．
（2）設直線AB的解析式，表示出點P的坐標及矩形的面積，將x=

3

4

時，S有最大值

9

8

代入解析式就可以求出系數的值．從而求出直線的解析式．
（3）設出點M的坐標由題意可以代入解析式分類討論求出M的坐標，然后由M的坐標求出反比例的解析式，最后由△OAN是直角三角形就可以求出點N的坐標．

解答：解：（1）設直線AB的解析式為y=kx+b，
由A（4，0），B（0，6），得

4k+b=0 b=6.

解得

k=- 3 2 b=6.

∴直線AB的解析式為y=-

3

2

x+6．
∵OC=x，∴P(x，-

3

2

x+6)．
∴S=x(-

3

2

x+6)．
即S=-

3

2

x2+6x（0＜x＜4）． 
（2）設直線AB的解析式為y=mx+n，
∵OC=x，
∴P（x，mx+n）．
∴S=mx²+nx．
∵當x=

3

4

時，S有最大值

9

8

，
∴

- n 2m = 3 4 9 16 m+ 3 4 n= 9 8 .

解得

m=-2 n=3.

∴直線AB的解析式為y=-2x+3．
∴A（

3

2

，0），B（0，3）．
即a=

3

2

，b=3．
（3）設點M的坐標為（x_M，y_M），
由點M在（2）中的直線AB上，
∴y_M=-2x_M+3．
∵點M到x軸、y軸的距離相等，
∴x_M=y_M或x_M=-y_M．
當x_M=y_M時，M點的坐標為（1，1）．
過M點的反比例函數的解析式為y=

1

x

．
∵點N在y=

1

x

的圖象上，OA在x軸上，且△OAN是直角三角形，
∴點N的坐標為(

3

2

，

2

3

)．
當x_M=-y_M時，M點的坐標為（3，-3），
過M點的反比例函數的解析式為y=-

9

x

．
∵點N在y=-

9

x

的圖象上，OA在x軸上，且△OAN是直角三角形，
∴點N的坐標為(

3

2

，-6)．
綜上，點N的坐標為(

3

2

，

2

3

)或(

3

2

，-6)．

點評：本題試一道一次函數的綜合試題，考查了待定系數法求直線函數的解析式及反比例函數的解析式，二次函數的解析式，直角三角形的性質的運用．解答中注意點M到x軸、y軸的距離相等的點有兩個，不要漏掉．