Question

已知某二次函數的圖象與軸分別相交于點和點，

與軸相交于點，頂點為點。

⑴求該二次函數的解析式（系數用含的代數式表示）；

⑵如圖①，當時，點為第三象限內拋物線上的一個動點，設的面積為，試求出與點的橫坐標之間的函數關系式及的最大值；

⑶如圖②，當取何值時，以、、三點為頂點的三角形與相似？

		圖②
	圖①

Answer 1

解：⑴∵該二次函數的圖象與軸分別相交于點和點，

∴設該二次函數的解析式為

∵該二次函數的圖象與軸相交于點，

∴，故

∴該二次函數的解析式為

⑵當時，點的坐標為，該二次函數的解析式為

∵點的坐標為，點的坐標為

∴直線的解析式為，即

過點作軸于點，交于點

∵點為第三象限內拋物線上的一個動點且點的橫坐標為

∴點的坐標為，點的坐標為，點的坐標為

∴

∴當時，有最大值；

另解：

∵，∴，∴，∴，

∴（其余略）

再解：

⑶∵，∴點的坐標為

∴

∵是直角三角形，∴欲使以、、三點為頂點的三角形與相似，必有

①若在中，，則，即

化簡整理得：，∵，∴（舍去負值）

此時，，，∴

∵且，∴與相似，符合題意；

②若在中，，則，即

化簡整理得：，∵，∴（舍去負值）

此時，，，∴

雖然，但是，∴與不相似，應舍去；

∴綜上所述，只有當時，以、、三點為頂點的三角形與相似。