Question

如圖，△ABC的三條角平分線交于I點，AI交BC于點D．
求證：∠CID+∠ABI=90°．

Answer 1

分析：根據三角形的外角性質知∠CID=∠IAC+∠ICA，而I是△ABC三條角平分線的交點，所以∠IAC、∠ICA、∠ABI分別是△ABC三個內角的一半，那么它們的度數應等于三角形內角和的一半，由此得證．

解答：證明：∵I是△ABC的三條角平分線的交點，
∴∠IAC=

1

2

∠BAC，∠ICA=

1

2

∠BCA，∠ABI=

1

2

∠ABC，
由三角形的內角和定理知：
∠BAC+∠BCA+∠ABC=180°，
∴∠IAC+∠ICA+∠ABI=90°；
由三角形的外角性質知：
∠CID=∠IAC+∠ICA；
故∠CID+∠ABI=90°．

點評：此題主要考查了三角形的外角性質、角平分線的定義以及三角形內角和定理的綜合應用能力．