【題目】如圖，平行四邊形
中，
，
，
，點E在AD上，且AE=4，點
是AB上一點，連接EF，將線段EF 繞點E逆時針旋轉120°得到EG，連接DG，則線段DG的最小值為____________________．
【答案】
【解析】
結合已知條件，作出輔助線，通過全等得出ME=GN，且隨著點F的移動，ME的長度不變，從而確定當點N與點D重合時，使線段DG最小．
解：如圖所示，過點E做EM⊥AB交BA延長線于點M，過點G作GN⊥AD交AD于點N，
∴∠EMF=∠GNE=90°
∵四邊形ABCD是平行四邊形，BC=12
∴AD∥BC，AD=BC=12，
∴∠BAD=120°，
∴∠AFE+∠AEF=60°
又∵EG為EF逆時針旋轉120°所得，
∴∠FEG=120°，EF=EG，
∴∠AEF+∠GEN=60°，
∴∠AFE=∠GEN，
∴在△EMF與△GNE中，∠AFE=∠GEN，∠EMF=∠GNE=90°，EF=EG，
∴△EMF≌△GNE（AAS）
∴ME=GN
又∵∠EAM=∠B=60°，AE=4，
∴∠AEM=30°，
，
，
∴
，
∴當點N與點D重合時，使線段DG最小，如圖所示，此時
，
故答案為：
．
科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在平面直角坐標系中，矩形OABC的兩邊OA，OC分別在x軸和y軸上，并且OA=5，OC=3．若把矩形OABC繞著點O逆時針旋轉，使點A恰好落在BC邊上的A1處，則點C的對應點C1的坐標為（ ）
A. （﹣
） B. （﹣
） C. （﹣
） D. （﹣
）
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖1，在
和
中，頂點
是它們的公共頂點，
，
．
（特例感悟）（1）當頂點
與頂點
重合時（如圖1），
與
相交于點
，
與
相交于點
，求證：四邊形
是菱形；
（探索論證）（2）如圖2，當
時，四邊形
是什么特殊四邊形？試證明你的結論；
（拓展應用）（3）試探究：當
等于多少度時，以點
為頂點的四邊形是矩形？請給予證明．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】某種商品的標價為
元/件，經過兩次降價后的價格為
元/件，并且兩次降價的百分率相同．
（1）求該種商品每次降價的百分率；
（2）若該種商品進價為
元/件，兩次降價共售出此種商品
件，為使兩次降價銷售的總利潤不少于
元，則第一次降價后至少要售出該種商品多少件?
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在平面直角坐標系中，
為坐標原點，
的邊
垂直于
軸、垂足為點
，反比例函數
的圖象經過
的中點
、且與相交于點
．經過、兩點的一次函數解析式為
，若點的坐標為
，
．且
．
（1）求反比例函數的解析式；
（2）在直線
上有一點
，
的面積等于
．求滿足條件的點的坐標；
（3）請觀察圖象直接寫出不等式
的解集．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】銳角
中，
，
為
邊上的高線，
，兩動點
分別在邊
上滑動，且
，以
為邊向下作正方形
（如圖1），設其邊長為
．
（1）當
恰好落在邊上（如圖2）時，求；
（2）正方形與公共部分的面積為
時，求的值．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】（1）小明同學在學習了全等三角形的相關知識后發現，只用兩把完全相同的長方形直尺就可以作出一個銳角的平分線．如圖：一把直尺壓住射線OB，另一把直尺壓住射線OA并且與第一把直尺交于點P，小明說：“射線OP就是∠BOA的角平分線．”小明作圖的依據是 ．
（2）尺規作圖作∠AOB的平分線方法如下：以O為圓心，任意長為半徑畫弧OA、OB于C、D，再分別以點C、D為圓心，以大于
CD長為半徑畫弧，兩弧交于點P，則作射線OP即為所求．由作法得△OCP≌△ODP的根據是 ．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，且AD//BC，BD的垂直平分線經過點O，分別與AD、BC交于點E、F
（1）求證：四邊形ABCD為平行四邊形；
（2）求證：四邊形BFDE為菱形．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，
的直徑
，半徑
，
為
上一動點（不包括
兩點），
，垂足分別為
．
（1）求
的長．
（2）若點
為
的中點，
①求劣弧
的長度，
②者點
為直徑
上一動點，直接寫出
的最小值．
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