Question

【題目】如圖1，在和中，頂點是它們的公共頂點，，．

（特例感悟）（1）當頂點與頂點重合時（如圖1），與相交于點，與相交于點，求證：四邊形是菱形；

（探索論證）（2）如圖2，當時，四邊形是什么特殊四邊形？試證明你的結論；

（拓展應用）（3）試探究：當等于多少度時，以點為頂點的四邊形是矩形？請給予證明．

Answer 1

【答案】(1)見解析； (2)當∠GBC=30°時，四邊形GCFD是正方形．證明見解析；(3)當∠GBC=120°時，以點，，，為頂點的四邊形CGFD是矩形. 證明見解析．

【解析】

（1）先證明四邊形是平行四邊形，再通過證明得出，從而證明四邊形是菱形；

（2）證法一：如圖，連接交于，在上取一點，使得，通過證明，，，從而證明當∠GBC=30°時，四邊形GCFD是正方形；

證法二：如圖，過點G作GH⊥BC于H，通過證明OD=OC=OG=OF，GF=CD，從而證明當∠GBC=30°時，四邊形GCFD是正方形；

（3）當∠GBC=120°時，點E與點A重合，通過證明，CD=GF，，從而證明四邊形是矩形．

(1) ，，

四邊形是平行四邊形，

在和中，

，

，

四邊形是菱形．

(2)當∠GBC=30°時，四邊形GCFD是正方形．

證法一：如圖，連接交于，在上取一點，使得，

，，

，

，

，

，.

，，，

，

，

，

，

，

設，則，，

在Rt△BGK中，，解得，

，，

，

，

，

，，

四邊形是平行四邊形，

，

四邊形是矩形，

，

四邊形是正方形．

證法二：如圖

∵，，

.

又，

，

，.

過點G作GH⊥BC于H，

在Rt△BHG中，

∵，

∴GH=BG＝＋１，BH＝GH＝3＋，

∴HC=BC﹣BH=2+2-（3＋）=-1，

∴GC=，

∴OG=OC===2，

∴OD=OF=4-2=2，

∴OD=OC=OG=OF，

四邊形是矩形，

∵GF=CD，

四邊形是正方形．

(3) 當∠GBC=120°時，以點，，，為頂點的四邊形CGFD是矩形.

當∠GBC=120°時，點E與點A重合.

，

∴，

.

∵四邊形ABCD和四邊形GBEF是平行四邊形，

∴，，AB=CD，AB=GF，

∴，CD=GF，

四邊形是平行四邊形.

∵，

四邊形是矩形．