Question

如圖，在△ACH中，△ACB、△BDE和△DGF都是等邊三角形，且點E、G在△ACH邊CH上，設等邊△ABC、△BDE、△DGF的面積分別為S₁、S₂、S₃，若S₁=9，S₃=1，則S₂=（ ）

A．3
B．4
C．5
D．6

Answer 1

【答案】分析：先設△ABC、△BDE、△DGF的邊長分別是a、b、c，由于△ABC、△BDE是等邊三角形，易知∠ABC=60°，∠EBD=60°，結合平角定義可求∠CBE=60°，同理可求∠EDG=60°，那么∠CBE=∠EDG，由于△BDE、△DGF是等邊三角形，那么∠EBD=∠GDF=60°，從而有BE∥DG，于是∠CEB=∠EDG，利用兩角對應相等的兩個三角形相似可得△CBE∽△EDG，可得比例關系：a：b=b：c，即b²=ac，再根據S₁：S₃=（）²=9：1，即可求得a：c，又由S₁：S₂=（）²===，即可求得答案．
解答：解：設△ABC、△BDE、△DGF的邊長分別是a、b、c，如右圖，
∵△ABC、△BDE是等邊三角形，
∴∠CBA=∠EBD=60°，
∴∠CBE=60°，
同理∠EDG=60°，
∴∠CBE=∠EDG，
∵△BDE、△DGF是等邊三角形，
∴∠EBD=∠GDF=60°，
∴BE∥DG，
∴∠CEB=∠EDG，
∴△CBE∽△EDG，
∴a：b=b：c，
∴b²=ac，
∵S₁：S₃=（）²=9：1，
∴a：c=3：1，
∵S₁：S₂=（）²====3：1．
∴S₂=S₁=3．
故選A．
點評：此題考查了相似三角形的判定與性質以及等邊三角形的性質．此題難度適中，注意掌握數形結合思想的應用．