Question

如圖1,在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°, △ABD是等邊三角形，E是AB的中點，連結CE并延長交AD于F.

（1）求證：① △AEF≌△BEC；② 四邊形BCFD是平行四邊形；

（2）如圖2，將四邊形ACBD折疊,使D與C重合，HK為折痕，求sin∠ACH的值.

 

Answer 1

（1）① 在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°,

∴ ∠ABC=60°.

在等邊△ABD中，∠BAD=60°, 

∴ ∠BAD=∠ABC=60° .                   

∵ E為AB的中點，

∴ AE=BE.                            

又∵ ∠AEF=∠BEC ,                         

∴ △AEF≌△BEC .                         

② 在△ABC中，∠ACB=90°，E為AB的中點

∴ CE=AB,BE=AB，

∴ ∠BCE=∠EBC=60° .            

      又∵ △AEF≌△BEC,  

∴ ∠AFE=∠BCE=60° .

      又∵ ∠D=60°,  ∴ ∠AFE=∠D=60° .

         ∴ FC∥BD                            

      又∵ ∠BAD=∠ABC=60°，

∴ AD∥BC，即FD∥BC                     

        ∴ 四邊形BCFD是平行四邊形.                 

   （2）∵∠BAD=60°，∠CAB=30°  ∴∠CAH=90°

          在Rt△ABC中，∠CAB=30°，設BC =a

∴ AB=2BC=2a，∴ AD=AB=2a.

          設AH = x ，則 HC=HD=AD-AH=2a-x.      

在Rt△ABC中，AC2=(2a) 2-a2=3a2.

在Rt△ACH中，AH2+AC2=HC2，即x2+3a2=(2a-x) 2.

解得 x=a，即AH=a.

∴ HC=2a-x=2a-a=a