Question

（2006•郴州）如圖，在△ABC中，AB=AC，D是BC上任意一點，過D分別向AB，AC引垂線，垂足分別為E，F，CG是AB邊上的高．
（1）DE，DF，CG的長之間存在著怎樣的等量關系？并加以證明；
（2）若D在底邊的延長線上，（1）中的結論還成立嗎？若不成立，又存在怎樣的關系？請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接AD，根據三角形ABC的面積=三角形ABD的面積+三角形ACD的面積，進行分析證明；
（2）類似（1）的思路，仍然用計算面積的方法來確定線段之間的關系．即三角形ABC的面積=三角形ABD的面積-三角形ACD的面積．
解答：解：（1）DE+DF=CG．
證明：連接AD，
則S_△ABC=S_△ABD+S_△ACD，即AB•CG=AB•DE+AC•DF，
∵AB=AC，
∴CG=DE+DF．

（2）當點D在BC延長線上時，（1）中的結論不成立，但有DE-DF=CG．
理由：連接AD，則S_△ABD=S_△ABC+S_△ACD，
即AB•DE=AB•CG+AC•DF
∵AB=AC，
∴DE=CG+DF，
即DE-DF=CG．
同理當D點在CB的延長線上時，則有DE-DF=CG，說明方法同上．
點評：本題考查了等腰三角形的性質；在解決一題多變的時候，基本思路是相同的；注意通過不同的方法計算同一個圖形的面積，來進行證明結論的方法，是非常獨特的，也是一種很好的方法，注意掌握應用．