Question

（2006•郴州）如圖1，矩形紙片ABCD的邊長分別為a，b（a＜b）．將紙片任意翻折（如圖2），折痕為PQ．（P在BC上），使頂點C落在四邊形APCD內一點C′，PC′的延長線交直線AD于M，再將紙片的另一部分翻折，使A落在直線PM上一點A′，且A′M所在直線與PM所在直線重合（如圖3）折痕為MN．
（1）猜想兩折痕PQ，MN之間的位置關系，并加以證明；
（2）若∠QPC的角度在每次翻折的過程中保持不變，則每次翻折后，兩折痕PQ，MN間的距離有何變化？請說明理由；
（3）若∠QPC的角度在每次翻折的過程中都為45°（如圖4），每次翻折后，非重疊部分的四邊形MC′QD，及四邊形BPA′N的周長與a，b有何關系，為什么？

Answer 1

【答案】分析：（1）猜想兩直線平行，由矩形的對邊平行，得到一組內錯角相等，翻折前后對應角相等，那么可得到PQ與MN被MP所截得的內錯角相等，得到平行．
（2）作出兩直線間的距離．∵PM長相等，∠NPM是不變的，所以利用相應的三角函數可得到兩直線間的距離不變．
（3）由特殊角得到所求四邊形的形狀，把與周長相關的邊轉移到同一線段求解．
解答：解：（1）PQ∥MN．
∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，且M在AD直線上，則有AM∥BC．
∴∠AMP=∠MPC．
由翻折可得：∠MPQ=∠CPQ=∠MPC，
∠NMP=∠AMN=∠AMP，
∴∠MPQ=∠NMP，故PQ∥MN．

（2）兩折痕PQ，MN間的距離不變．
過P作PH⊥MN，則PH=PM•sin∠PMH，
∵∠QPC的角度不變，
∴∠C'PC的角度也不變，則所有的PM都是平行的．
又∵AD∥BC，
∴所有的PM都是相等的．
又∵∠PMH=∠QPC，故PH的長不變．

（3）當∠QPC=45°時，
四邊形PCQC'是正方形，
四邊形C'QDM是矩形．
∵C'Q=CQ，C'Q+QD=a，
∴矩形C'QDM的周長為2a．
同理可得矩形BPA'N的周長為2a，∴兩個四邊形的周長都為2a，與b無關．
點評：翻折前后對應角相等，對應邊相等，應注意使用相應的三角函數，平行線的判斷，特殊四邊形的判定．