Question

已知直線y=-

3

4

x+m與x軸y軸分別交于點A和點B，點B的坐標為（0，6）
（1）求的m值和點A的坐標；
（2）在矩形OACB中，點P是線段BC上的一動點，直線PD⊥AB于點D，與x軸交于點E，設BP=a，梯形PEAC的面積為s．
①求s與a的函數關系式，并寫出a的取值范圍；
②⊙Q是△OAB的內切圓，求當PE與⊙Q相交的弦長為2.4時點P的坐標．

Answer 1

分析：（1）已知一次函數的解析式，把已知坐標代入求出點A的坐標；
（2）根據勾股定理求出AB后再利用三角函數求出cos∠CBA，BD，AD的值．證明△PBD∽△EAD，利用線段比求出AE的值．最后可求S_梯形PEAC．已知S_△OAB，求出r的值．根據勾股定理求出QM，又因為已知BC，BA的值，根據三角函數求出BP與BD的等量關系．繼而求出點P的坐標．當PE的圓心Q的另一側時，同理亦可求點P的坐標．

解答：解：（1）把B（0，6）代入y=-

3

4

x+m，得m=6，
把y=0代入y=-

3

4

x+6y=-

3

4

+6，得x=8，
∴點A的坐標為（8，0）；

（2）在矩形OACB中，AC=OB=6，
BC=OA=8，∠C=90°，
∴AB=

AC2+BC2

=

62+82

=10，
∵PD⊥AB，
∴∠PDB=∠C=90°，cos∠CBA=

BD

BP

=

BC

BA

∴

BD

a

=

8

10

，
∴BD=

4

5

a，
∴AD=10-

4

5

a，
又∵BC∥AE，
∴△PBD∽△EAD，
∴

AE

BP

=

AD

BD

，即

AE

a

=

10- 4a 5

4a 5

，
∴AE=

5

4

(10-

4a

5

)=12.5-a，
∵S_梯形PEAC=

1

2

(PC+AE)AC，
∴s=

1

2

(8-a+12.5-a)6=-6a+61.5（4.5≤a＜8），
（注：寫成4.5＜a＜8不扣分）
②⊙Q是△OAB的內切圓，可設⊙Q的半徑為r，
∴S△OAB=

1

2

(6+8+10)r=

1

2

×6×8，
解得r=2，
設⊙Q與OB、AB、OA分別切于點F、G、H，
可知，OF=2，
∴BF=BG=OB-OF=6-2=4，
設直線PD與⊙Q交于點I、J，過Q作QM⊥IJ于點M，連接IQ、QG，
∵QI=2，IM=

1

2

IJ=1.2，
∴QM=

QI2-IM2

=1.6，
∴在矩形GQMD中，GD=QM=1.6，
∴BD=BG+GD=4+1.6=5.6，
由cos∠CBA=

BD

BP

=

BC

BA

=

8

10

，
得BP=

5

4

BD=7，
∴點P的坐標為（7，6），
當PE在圓心Q的另一側時，同理可求點P的坐標為（3，6），
綜上，P點的坐標為（7，6）或（3，6）．

點評：本題難度較大，且要注意全面分析題目以及考慮問題，重點考查一次函數的綜合應用，同時要聯系圖象解決問題．