Question

如圖，已知直線y=

3

4

x，點A的坐標是（4，0），點D為x軸上位于點A右邊的某一點，點B為直線y=

3

4

x上的一點，以點A、B、D為頂點作正方形．
（1）若圖①僅看作符合條件的一種情況，求出所有符合條件的點D的坐標；
（2）在圖①中，若點P以每秒1個單位長度的速度沿直線y=

3

4

x從點O移動到點B，與此同時點Q以相同的速度從點A出發沿著折線A-B-C移動，當點P到達點B時兩點停止運動．設點P運動時間為t，試探究：在移動過程中，△PAQ的面積關于t的函數關系式，并求最大值是多少？

Answer 1

分析：（1）分情況探討：點D在x軸上，為正方形的一邊或為正方形的對角線；
（2）因為AB之間的距離是

32+42

=5，從點O移動到點B的時間最大為5秒，結合Q以相同的速度從點A出發沿著折線A-B-C移動，分兩種情況：當點Q與點B重合；點B隨著點P的停止而停止；確定t的取值范圍，利用面積得出二次函數解決問題．

解答：解：（1）如圖，



點D的坐標可以為（7，0）或（16，0）或（28，0）；
（2）①當0＜t≤3時，如圖，過點P作PE⊥x軸，垂足為點E．
AQ=OP=t，OE=

4

5

t，AE=4-

4

5

t．
S_△APQ=

1

2

AQ•AE=

1

2

t（4-

4

5

t）=

1

2

（t-

5

2

）²+

5

2

 
 當t=

5

2

時，S_△APQ的最大值為

5

2

．
②當3＜t≤5時，如圖，
過點P作PE⊥x軸，垂足為點E，過點Q作QF⊥x軸，垂足為點F．
OP=t，PE=

3

5

t，OE=

4

5

t，AE=4-

4

5

t．
QF=3，AF=BQ=t-3，EF=AE+AF=1+

1

5

t
S_△APQ=S _梯形PEFQ-S_△PEA-S_△QFA
sAPQ=

3

10

t2-

21

10

t+6，由于對稱軸為直線x=

7

2

，故當x=5時，S_△APQ的最大值為3．
綜上所述，S_△APQ的最大值為3．

點評：此題綜合考查了一次函數，二次函數最值問題，并滲透分類討論思想．