Question

如圖，對稱軸為的拋物線與軸相交于點、

【小題1】求拋物線的解析式，并求出頂點的坐標
【小題2】連結AB，把AB所在的直線平移，使它經過原點O，得到直線.點P是上一動點.設以點A、B、O、P為頂點的四邊形面積為S，點P的橫坐標為，當0＜S≤18時，求的取值范圍
【小題3】在（2）的條件下，當取最大值時，拋物線上是否存在點，使△OP為直角三角形且OP為直角邊.若存在,直接寫出點的坐標；若不存在，說明理由.

Answer 1

p;【答案】
【小題1】（3，3）
【小題2】-3≤＜0或0＜≤3.
【小題3】存在，點坐標為（3，3）或（6，0）或（-3，-9）解析:
（1）∵點B與O（0，0）關于x=3對稱,
∴點B坐標為（6，0）.
將點B坐標代入得：
36+12=0,
∴=.                                                                          
∴拋物線解析式為.
當=3時，,
∴頂點A坐標為（3，3）.
（說明：可用對稱軸為,求值,用頂點式求頂點A坐標.）
（2）設直線AB解析式為y=kx+b.
∵A(3,3),B(6,0),
∴  解得,  ∴.
∵直線∥AB且過點O,
∴直線解析式為.
∵點是上一動點且橫坐標為,
∴點坐標為（）.
當在第四象限時（t＞0），

=12×6×3+×6×
=9+3.
∵0＜S≤18,
∴0＜9+3≤18,
∴-3＜≤3.
又＞0,
∴0＜≤3.5分
當在第二象限時（＜0）,
作PM⊥軸于M，設對稱軸與軸交點為N.

則

=-3+9.
∵0＜S≤18,
∴0＜-3+9≤18,
∴-3≤＜3.
又＜0,
∴-3≤＜0.6分
∴t的取值范圍是-3≤＜0或0＜≤3.
(3)存在，點坐標為（3，3）或（6，0）或（-3，-9）.