Question

18．如圖，△ABC的面積為1．第一次操作：分別延長AB，BC，CA至點A₁，B₁，C₁，使A₁B=AB，B₁C=BC，C₁A=CA，順次連接A₁，B₁，C₁，得到△A₁B₁C₁．第二次操作：分別延長A₁B₁，B₁C₁，C₁A₁至點A₂，B₂，C₂，使A₂B₁=A₁B₁，B₂C₁=B₁C₁，C₂A₁=C₁A₁，順次連接A₂，B₂，C₂，得到△A₂B₂C₂，…按此規律，要使得到的三角形的面積超過2017，最少經過多少次操作（　　）

• A． 4
• B． 5
• C． 6
• D． 7

Answer 1

分析 先根據已知條件求出△A₁B₁C₁及△A₂B₂C₂的面積，再根據兩三角形的倍數關系求解即可．

解答 解：△ABC與△A₁BB₁底相等（AB=A₁B），高為1：2（BB₁=2BC），故面積比為1：2，
∵△ABC面積為1，
∴S_△A1B1B=2．
同理可得，S_△C1B1C=2，S_△AA1C=2，
∴S_△A1B1C1=S_△C1B1C+S_△AA1C+S_△A1B1B+S_△ABC=2+2+2+1=7；
同理可證△A₂B₂C₂的面積=7×△A₁B₁C₁的面積=49，
第三次操作后的面積為7×49=343，
第四次操作后的面積為7×343=2401．
故按此規律，要使得到的三角形的面積超過2017，最少經過4次操作．
故選A．

點評 此題考查了三角形的面積，此題屬規律性題目，解答此題的關鍵是找出相鄰兩次操作之間三角形面積的關系，再根據此規律求解即可．