Question

如圖，廣安市防洪指揮部發現渠江邊一處長400米，高8米，背水坡的坡角為45°的防洪大堤（橫截面為梯形ABCD）急需加固．經調查論證，防洪指揮部專家組制定的加固方案是：背水坡面用土石進行加固，并使上底加寬2米，加固后，背水坡EF的坡比i=1：2．
（1）求加固后壩底增加的寬度AF的長；
（2）求完成這項工程需要土石多少立方米？

Answer 1

解：（1）分別過點E、D作EG⊥AB、DH⊥AB交AB于G、H，

∵四邊形ABCD是梯形，且AB∥CD，
∴DH平行且等于EG，
故四邊形EGHD是矩形，
∴ED=GH，
在Rt△ADH中，AH=DH÷tan∠DAH=8÷tan45°=8（米），
在Rt△FGE中，i=1：2=，
∴FG=2EG=16（米），
∴AF=FG+GH-AH=16+2-8=10（米）；

（2）加寬部分的體積V=S_梯形AFED×壩長=×（2+10）×8×400=19200（立方米）．
答：（1）加固后壩底增加的寬度AF為10米；（2）完成這項工程需要土石19200立方米．
分析：（1）分別過E、D作AB的垂線，設垂足為G、H．在Rt△EFG中，根據坡面的鉛直高度（即壩高）及坡比，即可求出FG的長，同理可在Rt△ADH中求出AH的長；由AF=FG+GH-AH求出AF的長．
（2）已知了梯形AFED的上下底和高，易求得其面積．梯形AFED的面積乘以壩長即為所需的土石的體積．
點評：本題考查了解直角三角形的應用，解答本題的關鍵是理解坡度、坡比的含義，構造直角三角形，利用三角函數表示相關線段的長度，難度一般．