Question

（2012•泉港區質檢）如圖，在矩形ABCD中，點E是BC邊上的一動點，DF⊥AE于F，連接DE．
（1）求證：△ABE∽△DFA；
（2）如果AE=BC=10，AB=6，試求出tan∠EDF的值．

Answer 1

分析：（1）由矩形的性質和垂直的定義以及相似三角形的判定方法即可證明：△ABE∽△DFA；
（2）根據相似三角形的對應邊比值相等以及勾股定理，可以求得DF，EF的長，運用三角函數定義求解．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB，
∵DF⊥AE于F，
∴∠DFA=∠B=90°，
∴△ABE∽△DFA；
（2）解：∵△ABE∽△DFA；
∴

AD

AE

=

AF

BE

，
∵AE=BC=10，AB=6，
∴在Rt△ABE中，BE=

AE2-AB2

=8，
∴

10

10

=

AF

8

，
∴AF=8，
∴DF=6，
∴EF=AE-AF=2，
∴tan∠EDF=

EF

DF

=

2

6

=

1

3

．

點評：本題綜合考查了矩形的性質、相似三角形的判定與性質及銳角三角函數的定義．熟練運用矩形的性質和判定，能夠找到證明相似三角形的有關條件；運用相似三角形的性質求得三角形中的邊，再根據銳角三角函數的概念求解是解題的關鍵．