Question

【題目】如圖，點A為線段BC外一動點，且BC＝4，AB＝3，分別以AB，AC為邊，作等邊三角形ABD和等邊三角形ACE，連接CD，BE．

（1）請找出圖中與BE相等的線段，并說明理由；

（2）當∠ABC＝30°時，求線段BE長；

（3）直接寫出線段BE長的最大值．

Answer 1

【答案】（1）BE＝CD，理由見解析；（2）5；（3）7

【解析】

（1）BE＝CD，根據等邊三角形的性質證明△ABE≌△ADC，可以得出；

（2）如圖1，利用勾股定理求出DC＝5，再利用（1）中CD＝BE，得出結論；

（3）線段BE長的最大值就是線段CD的最大值，當D、B、C在同一直線上時，DC最大為7，由此得出結論：BE的最大值為也是7．

解：（1）BE＝CD，理由是：

∵△ABD和△ACE都是等邊三角形，

∴AD＝AB，AE＝AC，∠DAB＝∠CAE＝60°，

∴∠DAB+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，

即∠DAC＝∠BAE，

∴△ABE≌△ADC（SAS），

∴CD＝BE；

（2）如圖1，

∵∠ABC＝30°，∠ABD＝60°，

∴∠DBC＝∠ABD+∠ABC＝60°+30°＝90°，

∵△ABD是等邊三角形，

∴BD＝AB＝3，

在Rt△DBC中，∵BC＝4，

∴DC＝＝＝5，

∴BE＝DC＝5；

（3）在△BDC中，DC＜BC+BD，

∴DC＜3+4＝7，

∴當D、B、C在同一直線上時，DC最大為7，

∵BE＝DC，

∴BE的最大值為也是7．