Question

如圖①，②，③中，點E，D分別是正△ABC，正四邊形ABCM，正五邊形ABCMN中以C點為頂點的相鄰兩邊上的點，且BE=CD，DB交AE于P點．
（1）圖①中，∠APD的度數為60°，圖②中，∠APD的度數為90°，圖③中，∠APD的度數為

 

；（直接寫答案）
（2）根據前面探索，將本題推廣到一般的正n邊形情況．如圖④，點E，D分別是正n邊形ABCM …中以C點為頂點的相鄰兩邊上的點，且BE=CD，BD與AE交于點P，則∠APD的度數為

 

．（直接寫答案）

Answer 1

分析：此題根據正多邊形的性質得到各邊相等，各角相等，再結合已知條件可以證明△ABE≌△BCD，得到∠BAE=∠CBD．再根據三角形的外角的性質，可以得到∠APD=∠BAE+∠ABP=∠ABP+∠CBD，即∠APD總等于等邊三角形一個內角的度數．推而廣之，可以得到在正多邊形中，∠APD等于對應的正多邊形的每一個內角．

解答：解：（1）∵AB=BC，∠ABE=∠BCD，BE=CD，
∴△ABE≌△BCD，
∴∠BAP=∠CBD，
∴∠APD=∠BAE+∠ABP=∠ABP+∠CBD=∠ABE=108°．

（2）同（1）可證，∠APD=正N邊形的一個內角=

(n-2)180°

n

．

點評：此題應當根據正多邊形的性質證明一對全等三角形，再結合三角形的外角的性質，發現要求的角總等于正多邊形的一個內角．