Question

知識回顧：
（1）如圖1，在△ABC中，點D、E、F分別是邊AB、BC、AC的中點，我們把△DEF稱為△ABC的中點三角形．則S_△DEF：S_△ABC=

 

；
（2）如圖2，在正方形ABCD中，點E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點，我們把四邊形EFGH稱為正方形ABCD的中點四邊形，此時四邊形EFGH的形狀是

 

，S_{四邊形EFGH}：S_{四邊形ABCD}=

 

；
（3）實踐探究：
如圖3，在正五邊形ABCDE中，若點F、G、H、M、N分別是邊AB、BC、CD、DE、EA的中點，則中點五邊形FGHMN的形狀是

 

；若正五邊形ABCDE的中心為點O，連接OE、ON，求S_{五邊形FGHMN}：S_{五邊形ABCDE}的值．

（4）拓展歸納：
在正n邊形A₁A₂ …A_n中，若點B₁、B₂ …B_n分別是邊A₁A₂、A₂A₃、…、A_nA₁的中點，則中點n邊形B₁B₂ …B_n的面積與正n邊形A₁A₂ …A_n的面積之比為Sn邊形B1B2…Bn：Sn邊形A1A2…An=

 

．

Answer 1

分析：（1）利用三角形的中位線定理即可得到兩三角形相似且相似比為1：2，故面積為1：4；
（2）易得四邊形EFGH為正方形，且面積等于原正方形的面積的一半；
（3）可以利用全等三角形證得五邊形為正五邊形，設OE交NM于點K，則可得∠ONE=90°，∠OKN=90°，證得△KON∽△NOE，利用面積的比等于相似比的平方，相似比恰恰是∠EON的余弦值，從而得到結論；
（4）按照（3）總結的規律即可得到∠EON為

180°

n

，從而得到結論．

解答：解：（1）1：4；（1分）
（2）正方形；1：2；（3分）
（3）實踐探究：正五邊形．（4分）
解：設OE交NM于點K，則可得∠ONE=90°，∠OKN=90°，
又∵∠NOE為公共角，
∴△KON∽△NOE．
設△KON的面積為S₁，△NOE的面積為S₂，
則

S1

S2

=(

ON

OE

)2．（6分）
∵∠OEN=

1

2

∠MEN=

1

2

×

(5-2)×180°

5

=54°，
∴∠EON=36°．
∴

S1

S2

=(

ON

OE

)2=sin²54°（或cos²36°）．
∴S_{五邊形FGHMN}：S_{五邊形ABCDE}=S₁：S₂=sin²54°（或cos²36°）（8分）
（4）拓展歸納：S_{n邊形B1B2Bn}：S_{n邊形A1A2An=}sin2[

90(n-2)

n

]°（或cos2(

180

n

)°）（10分）

點評：本題考查了相似三角形的判定及性質、等邊三角形的性質、三角形的中位線定理等知識，是一道綜合性較強的題目，難度較大．