Question

【題目】已知Rt△ABC中，AB是⊙O的弦，斜邊AC交⊙O于點D，且AD＝DC，延長CB交⊙O于點E．

（1）如圖1，求證：AE＝CE．

（2）如圖2，過點E作⊙O的切線，交AC的延長線于點F．若CF＝2CD，求sin∠CAB的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）sin∠CAB＝．

【解析】

（1）連接ED，如圖1，由∠ABE=90°可得AE是⊙O的直徑，根據圓周角定理可得∠ADE=∠ABE=90°，由于AD=DC，根據垂直平分線的性質可得AE=CE；
（2）連接ED， 根據EF是⊙OO的切線，得到，并由（1）可知，所以，利用，，得到，即有，利用，即可求出sin∠CAB的值．

解：（1）連接ED，如圖1，

∵△ABC是直角三角形，

∴∠ABC＝90°，

∴∠ABE＝90°，

∴AE是⊙O的直徑，

∴ED⊥AC，

∵AD＝DC，

∴ED為線段AC的中垂線，

∴AE＝CE；

（2）連接ED，如圖2，

∵EF是⊙OO的切線，

∴，

由（1）可知，

∴，

∵，，

∴，，

即：，

∴

并且，

∴，

AE是⊙O的直徑，

∴是直角三角形，

∴，

∴．