Question

如圖，在平面直角坐標系中，已知點A（0，1）、B（3，5），以AB為邊作如圖所示的正方形ABCD，頂點在坐標原點的拋物線恰好經過點D，P為拋物線上的一動點．

（1）直接寫出點D的坐標；

（2）求拋物線的解析式；

（3）求點P到點A的距離與點P到x軸的距離之差；

（4）當點P位于何處時，△APB的周長有最小值，并求出△APB的周長的最小值．

Answer 1

（1）D（-4，4）；（2）y=x2（3）1；（4）11.

【解析】

試題分析：（1）設D點的坐標為（x，y），過A點作x的平行線l，過B點作BE⊥l于E點，過D點作DF⊥l于F點，根據點A（0，1）和B（3，5）可以求出AE、BE的長，然后再證明Rt△AEB≌Rt△DFA，求出AF和DF的長，進而求出D點的坐標．

（2）設拋物線解析式為y=ax2，把D點坐標代入求出a的值，進而求出拋物線解析式；

（3）設P點坐標為（x，x2），分別求出P點到A點的距離和到x軸的距離，求出兩距離之差即可；

（4）作A點關于x軸的對稱點A′，過A′作x軸的平行線m，過B點作BE⊥直線m交于點E，P′點就是△APB的周長有最小值時P點的位置，首先證明P′A=P′E，然后P′坐標，進而求出△APB的周長有最小值．

試題解析：（1）設D點的坐標為（x，y），過A點作x的平行線l，過B點作BE⊥l于E點，過D點作DF⊥l于F點，

∵B點坐標為（3，5）、A點坐標為（0，1），

∴AE=3，BE=4，

∵正方形ABCD，

∴AD=AB，

∵∠BAE+∠DAF=∠DAF+∠FAD，

在Rt△AEB和Rt△DFA中，

，

∴在Rt△AEB和Rt△DFA中，

∴AF=BE=4，DF=AE=3，

∴D點的坐標為（-4，4）；

（2）設拋物線解析式為y=ax2，拋物線經過點D坐標（-4，4），

即4=16a，解得a=，

因此，所求拋物線解析式為y=x2

（3）設P點坐標為（x，x2），A點坐標為（0，1），

|PA|=，

點P到x軸的距離d=x2

點P到點A的距離與點P到x軸的距離之差=|PA|-d=x2+1-x2=1；

（4）作A點關于x軸的對稱點A′，過A′作x軸的平行線m，過B點作BE⊥直線m交于點E，P′點就是△APB的周長有最小值時P點的位置，

∵A點坐標為（0，1），

∴A′點坐標為（0，-1），

首先證明P′A=P′E，

設P′點坐標為（x，y），

|P′A|=，|P′E|=|y+1|，

于是證明出P′A=P′E，

而點P'在拋物線上，且其橫坐標為3，

∴點P'坐標為（3，）；由于兩點之間線段最短，那么此時△APB的周長最短；

因此，當點P為（3，）時，△APB的周長值最小，且為L=|AB|+|AP|+|BP|=|AB|+|BE|=5+6=11．

考點：二次函數綜合題．