Question

如圖1，CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，∠EAC+∠ACE=90°
（1）求證：AB∥CD；
（2）如圖2，由三角形內角和可知∠E=90°，移動直角頂點E，使∠MCE=∠ECD，當直角頂點E點移動時，問∠BAE與∠MCD否存在確定的數量關系？并證明；
（3）如圖3，P為線段AC上一定點，點Q為直線CD上一動點，①當點Q在射線CD上運動時（點C除外）∠CPQ+∠CQP與∠BAC有何數量關系？猜想結論并說明理由．②當點Q在射線CD的反向延長線上運動時（點C除外）∠CPQ+∠CQP與∠BAC有何數量關系？猜想結論，不需說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據角平分線的性質可得∠BAC=2∠EAC，∠ACD=2∠ACE，再由∠EAC+∠ACE=90°可得∠BAC+∠ACD=180，進而得到AB∥CD；
（2）過E作EF∥AB，證明EF∥∥AB∥CD，可得∠BAE=∠AEF，∠FEC=∠DCE，再由∠E=90°，可得∠BAE+∠ECD=90°，進而得到∠BAE+

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∠MCD=90°；
（3）根據平行線的性質結合三角形內角和定理可得∠CPQ+∠CQP與∠BAC數量關系．

解答：證明：（1）∵CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，
∴∠BAC=2∠EAC，∠ACD=2∠ACE，
∵∠EAC+∠ACE=90°，
∴∠BAC+∠ACD=180，
∴AB∥CD；

（2）∠BAE+

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∠MCD=90°；
過E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴EF∥∥AB∥CD，
∴∠BAE=∠AEF，∠FEC=∠DCE，
∵∠E=90°，
∴∠BAE+∠ECD=90°，
∵∠MCE=∠ECD，
∴∠BAE+

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∠MCD=90°；

（3）如圖3：∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠ACD=180°，
∵∠QPC+∠PQC+∠PCQ=180°，
∴∠BAC=∠PQC+∠QPC；
如圖4：∵AB∥CD，
∴∠BAC=∠ACQ
∵∠PQC+∠PCQ+∠ACQ=180°，
∴∠PQC+∠QPC+∠BAC=180°．

點評：此題主要考查了平行線的判定與性質，關鍵是掌握兩直線平行，內錯角、同位角相等，同旁內角互補．