Question

（1）如圖①，∠BAD的平分線AE與∠BCD的平分線CE交于點(diǎn)E，AB∥CD，∠ADC=40°，∠ABC=30°，求∠AEC的大��；
（2）如圖②，∠BAD的平分線AE與∠BCD的平分線CE交于點(diǎn)E，∠ADC=m°，∠ABC=n°，求∠AEC的大小；
（3）如圖③，∠BAD的平分線AE與∠BCD的平分線CE交于點(diǎn)E，則∠AEC與∠ADC、∠ABC之間是否仍存在某種等量關(guān)系？若存在，請(qǐng)寫出你得結(jié)論，并給出證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）由三角形內(nèi)角和定理，可得∠D+∠ECD=∠E+∠EAD，∠B+∠EAB=∠E+∠ECB，由角平分線的性質(zhì)，可得∠ECD=∠ECB=

1

2

∠BCD，∠EAD=∠EAB=

1

2

∠BAD，則可得∠E=

1

2

（∠D+∠B），繼而求得答案；
（2）由三角形內(nèi)角和定理，可得∠D+∠ECD=∠E+∠EAD，∠B+∠EAB=∠E+∠ECB，由角平分線的性質(zhì)，可得∠ECD=∠ECB=

1

2

∠BCD，∠EAD=∠EAB=

1

2

∠BAD，則可得∠E=

1

2

（∠D+∠B），繼而求得答案；
（3）首先延長(zhǎng)BC交AD于點(diǎn)F，由三角形外角的性質(zhì)，可得∠BCD=∠B+∠BAD+∠D，又由角平分線的性質(zhì)，即可求得答案．

解答：解：（1）∵CE平分∠BCD，AE平分∠BAD
∴∠ECD=∠ECB=

1

2

∠BCD，∠EAD=∠EAB=

1

2

∠BAD，
∵∠D+∠ECD=∠E+∠EAD，∠B+∠EAB=∠E+∠ECB，
∴∠D+∠ECD+∠B+∠EAB=∠E+∠EAD+∠E+∠ECB
∴∠D+∠B=2∠E，
∴∠E=

1

2

（∠D+∠B），
∵∠ADC=40°，∠ABC=30°，
∴∠AEC=

1

2

×（40°+30°）=35°；

（2）∵CE平分∠BCD，AE平分∠BAD
∴∠ECD=∠ECB=

1

2

∠BCD，∠EAD=∠EAB=

1

2

∠BAD，
∵∠D+∠ECD=∠E+∠EAD，∠B+∠EAB=∠E+∠ECB，
∴∠D+∠ECD+∠B+∠EAB=∠E+∠EAD+∠E+∠ECB
∴∠D+∠B=2∠E，
∴∠E=

1

2

（∠D+∠B），
∵∠ADC=m°，∠ABC=n°，
∴∠AEC=

m°+n°

2

；

（3）延長(zhǎng)BC交AD于點(diǎn)F，
∵∠BFD=∠B+∠BAD，
∴∠BCD=∠BFD+∠D=∠B+∠BAD+∠D，
∵CE平分∠BCD，AE平分∠BAD
∴∠ECD=∠ECB=

1

2

∠BCD，∠EAD=∠EAB=

1

2

∠BAD，
∵∠E+∠ECB=∠B+∠EAB，
∴∠E=∠B+∠EAB-∠ECB=∠B+∠BAE-

1

2

∠BCD=∠B+∠BAE-

1

2

（∠B+∠BAD+∠D）=

1

2

（∠B-∠D），
即∠AEC=

∠ABC-∠ADC

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了三角形內(nèi)角和定理、三角形外角的性質(zhì)以及角平分線的定義．此題難度較大，注意掌握整體思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．