Question

在直角三角形ABC中，∠A=90°，AB=3cm，AC=4cm．
（1）求BC的長；
（2）點P為斜邊BC上的一個動點（P與B、C不重合），PC=xcm，以點P為中心把△ABC按逆時針方向旋轉90°至△DEF．
①當點P在如圖所示的位置時，DF交AC、BC分別于點N、Q，EF交AC于點M，求MF的長；
②設△DEF與△ABC重疊部分的面積為ycm²，求出y與x的函數關系式及自變量x的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）因為ABC為直角三角形，由兩條邊的長結合勾股定理求解即可．
（2）①由條件EF⊥BC于P，∠MPC=90°得出△PMC∽△ABC，根據比例關系求出MP的長，即可得出FM的長．
②先根據題意結合圖形求出x的取值范圍，得出當x=時為分界點，當x在不同區間時，面積有不同的求解方法，分不同的區間求解即可．
解答：解：（1）∵在直角三角形ABC中，∠A=90°，AB=3cm，AC=4cm，
∴根據勾股定理得BC=5cm．

（2）①∵繞點P旋轉90°，EF⊥BC于P，∠MPC=90°
又∠C=∠C，
∴△PMC∽△ABC，
∴=，
∴MP=，
∵PC=PM=x，
∴FM=．
②當A與N重合時．
由PC=x可得MC=，AM=4-
△FNM∽△CPM，
解得x=；
當A與M重合時，容易求得x=，
i）當0＜x≤時
y=S_△FPQ-S_△FNM=S_△CPM-S_△FNM=；
ii）當＜x≤時
y=S_△ABC-S_△CPM=6-；
iii）當＜x＜5時，
y=S_△MPB=．
點評：本題考查了二次函數的運用，解題時要注意結合圖形，分情況解題，不要漏掉一種情況．