Question

如圖所示，AD∥BC，梯形ABCD的面積是180，E是AB的中點，F是BC邊上的點，且AF∥CD，AF分別交ED，BD于G，H，設，m是整數．
（1）若m=2，求△GHD的面積；
（2）若△GHD的面積為整數，求m的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）若m=2，即BC=2AD，且四邊形AFCD為平行四邊形，可知F為BC中點，加上已知E為AB中點，可知G為△ABD的重心，從而求出AG和GH的比例關系，利用已知的總面積進而求出未知三角形在原圖形中所占的比例，
（2）在（1）的基礎之上，先求出△DHG面積，用m表示出來，進而考慮△DHG面積為整數時，m的取值．
解答：解：（1）∵AF∥CD，
∴四邊形AFCD為平行四邊形，
∴，
∴F是BC的中點，
∴H為BD中點，
又∵E是AB的中點，故G為△ABD的重心，因此．（3分）
∴，，．（6分）

（2）作BK∥AF交ED于K，
則△KEB≌△GEA，
∴AG=KB，
∴．（9分）
∴S_△ABD：S_△BCD=1：m，
∴．，
．（12分）
即為整數，因為180=2²×3²×5，所以m+1=2，3或6．
經驗證，m+1=3或6，即m=2或5．（15分）
點評：解此題的關鍵是利用平行四邊形的性質和重心的相關知識，來解決相關證明和計算．