Question

如圖，OA和OB是⊙O的半徑，并且OA⊥OB，P是OA上任一點，BP的延長線交⊙O于點Q，過點Q的直線交OA延長線于點R，且RP=RQ
（1）求證：直線QR是⊙O的切線；
（2）若OP=PA=1，試求RQ的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）要證明直線QR是⊙O的切線，證明OQ⊥RQ即可；
（2）在Rt△OQR中，根據勾股定理解直角三角形即可求出RQ的長．
解答：證明：（1）連接OQ；

∵OB=OQ，
∴∠B=∠BQO；
∵PR=QR，
∴∠RPQ=∠PQR
∵∠B+∠BPO=90°，
∠BPO=∠RPQ=∠PQR，
∴∠BQO+∠PQR=90°，即OQ⊥QR，
直線QR是⊙O的切線．

（2）設AR的長為x，則PR=RQ=x+1；
在Rt△OQR中，OQ=OA=2，
則（x+2）²=（x+1）²+2²，
解之得，x=，
∴QR=x+1=．
點評：熟練掌握切線的判定，會運用勾股定理求解一些簡單的直角三角形．