Question

如圖①，OA和OB是⊙O的半徑，且OA⊥OB，P是OA上的任意一點，BP的延長線交⊙O于D，PD的垂直平分線交OA的延長線于點C，連接CD．
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）若P是OA延長線上的任意一點，其他條件不變，CD還是⊙O的切線嗎？如果是，在備用圖②中作出相應圖形（請保留作圖痕跡），并論證．

Answer 1

分析：（1）連接DO，首先利用垂直平分線的性質得出∠CDP=∠BPO，進而利用切線的判定求出即可；
（2）根據已知得出圖象進而求出∠2+∠3=90°，即可得出答案．

解答：（1）證明：連OD．
∵PC=CD，
∴∠CPD=∠CDP而∠CPD=∠BPO，
∴∠CDP=∠BPO，
又∵OB=OD，
∴∠ODB=∠OBD，
∵∠OBP+∠OP B=90°，
∴∠ODC=∠ODP+∠CDP=90°，
∴CD是⊙O的切線；

（2）如圖所示：
證明：連OD．
∵CD=CP，
∴∠3=∠4，
同理：∠1=∠2，
而∠1+∠4=90°從而得∠2+∠3=90°，
∴∠ODC=90°，
∴CD是⊙O的切線．

點評：此題主要考查了切線的判定與垂直平分線的性質，熟練利用切線的判定定理求出是解題關鍵．