Question

如圖，OA和OB是⊙O的半徑，并且OA⊥OB，P是OA上任一點，BP的延長線交⊙O于點Q，過點Q的直線交OA延長線于點R，且RP=RQ
求證：直線QR是⊙O的切線．

Answer 1

分析：連接OQ，由OB=OQ與RP=RQ，根據等邊對等角的性質，可得∠B=∠BQO與∠RPQ=PQR，又由OA⊥OB與對頂角相等，可得∠BQO+∠PQR=90°，即可證得直線QR是⊙O的切線．

解答：證明：連接OQ，
∵OB=OQ，
∴∠B=∠BQO，
∵PR=QR，
∴∠RPQ=∠PQR，
∵OA⊥OB，
∴∠B+∠BPO=90°，
∵∠BPO=∠RPQ=∠PQR，
∴∠BQO+∠PQR=90°，
即OQ⊥QR，
∴直線QR是⊙O的切線．

點評：此題考查了切線的判定、等腰三角形的性質以及垂直的定義．此題難度不大，解題的關鍵是掌握數形結合思想的應用，注意掌握輔助線的作法．