Question

【題目】如圖，B（2m，0）、C（3m，0）是平面直角坐標系中兩點，其中m為常數，且m＞0，E（0，n）為y軸上一動點，以BC為邊在x軸上方作矩形ABCD，使AB＝2BC，畫射線OA，把△ADC繞點C逆時針旋轉90°得△A′D′C′，連接ED′，拋物線y＝ax2+bx+n（a≠0）過E、A′兩點．

（1）填空：∠AOB＝　 　°，用m表示點A′的坐標：A′　 　；

（2）當拋物線的頂點為A′，拋物線與線段AB交于點P，且時，△D′OE與△ABC是否相似？說明理由；

（3）若E與原點O重合，拋物線與射線OA的另一個交點為M，過M作MN垂直y軸，垂足為N：

①求a、b、m滿足的關系式；

②當m為定值，拋物線與四邊形ABCD有公共點，線段MN的最大值為5，請你探究a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）45；(m，﹣m)；（2）△D′OE∽△ABC，理由見解析；（3）①b＝﹣1﹣am；②≤a≤2．

【解析】

（1）由B與C的坐標求出OB與OC的長，根據OC-OB表示出BC的長，由題意AB=2BC，表示出AB，得到AB=OB，即三角形AOB為等腰直角三角形，即可求出所求角的度數；由旋轉的性質得：OD′=D′A′=m，即可確定出A′坐標；
（2）△D′OE∽△ABC，理由如下：根據題意表示出A與B的坐標，由，表示出P坐標，由拋物線的頂點為A′，表示出拋物線解析式，把點E坐標代入整理得到m與n的關系式，利用兩邊對應成比例且夾角相等的三角形相似即可得證；
（3）①當E與原點重合時，把A與E坐標代入y=ax2+bx+c，整理即可得到a，b，m的關系式；
②拋物線與四邊形ABCD有公共點，可得出拋物線過點C時的開口最大，過點A時的開口最小，分兩種情況考慮：若拋物線過點C（3m，0），此時MN的最大值為5，求出此時a的值；若拋物線過點A（2m，2m），求出此時a的值，即可確定出拋物線與四邊形ABCD有公共點時a的范圍．

解：（1）∵B（2m，0），C（3m，0），∴OB＝2m，OC＝3m，即BC＝m，

∵AB＝2BC，

∴AB＝2m＝0B，

∵∠ABO＝90°，

∴△ABO為等腰直角三角形，

∴∠AOB＝45°，

由旋轉的性質得：OD′＝D′A′＝m，即A′（m，﹣m）；

故答案為：45；（m，﹣m）；

（2）△D′OE∽△ABC，理由如下：

由已知得：A（2m，2m），B（2m，0），

∵，

∴P（2m，m），

∵A′為拋物線的頂點，

∴設拋物線解析式為y＝a（x﹣m）2﹣m，

∵拋物線過點E（0，n），

∴n＝a（0﹣m）2﹣m，即m＝2n，

∴OE：OD′＝BC：AB＝1：2，

∵∠EOD′＝∠ABC＝90°，

∴△D′OE∽△ABC；

（3）①當點E與點O重合時，E（0，0），

∵拋物線y＝ax2+bx+n過點E，A′，

∴ ，

整理得：am+b＝﹣1，即b＝﹣1﹣am；

②∵拋物線與四邊形ABCD有公共點，

∴拋物線過點C時的開口最大，過點A時的開口最小，

若拋物線過點C（3m，0），此時MN的最大值為5，

∴a（3m）2﹣（1+am）3m＝0，

整理得：am＝，即拋物線解析式為y＝，

由A（2m，2m），可得直線OA解析式為y＝x，

聯立拋物線與直線OA解析式得： ，

解得：x＝5m，y＝5m，即M（5m，5m），

令5m＝5，即m＝1，

當m＝1時，a＝；

若拋物線過點A（2m，2m），則a（2m）2﹣（1+am）2m＝2m，

解得：am＝2，

∵m＝1，

∴a＝2，

則拋物線與四邊形ABCD有公共點時a的范圍為≤a≤2．