Question

已知：關于x的方程x²+（m-2）x+m-3=0．
（1）求證：無論m取什么實數，這個方程總有兩個不相等的實數根；
（2）若這個方程的兩個實數根x₁，x₂滿足2x₁+x₂=m+1，求m的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）用一元二次方程根的判別式證明方程的根的情況．（2）根據根與系數的關系，把兩根之和代入滿足的等式，得到x₁，再把x₁代入方程可以求出m的值．
解答：（1）證明：△=（m-2）²-4×（m-3），
=m²-6m+16，
=（m-3）²+7＞0，
∴無論m取什么實數，這個方程總有兩個不相等的實數根；

（2）解：x₁+x₂=-（m-2），
2x₁+x₂=x₁+（x₁+x₂）=m+1，
∴x₁=m+1+m-2=2m-1，
把x₁代入方程有：
（2m-1）²+（m-2）（2m-1）+m-3=0，
整理得：
6m²-m=0，
6m（m-）=0，
∴m₁=0，m₂=．
點評：本題考查的是一元二次方程根的判別式和一元二次方程根與系數的關系，（1）題用根的判別式證明無論m為何值，方程總有兩個不相等的實數根．（2）題根據根與系數的關系，用含m的式子表示兩根之和，代入所給等式求出x₁，再把x₁代入方程求出m的值．