Question

已知：△ABC的高AD所在直線與高BE所在直線相交于點F．
（1）如圖1，若△ABC為銳角三角形，且∠ABC=45°，過點F作FG∥BC，交直線AB于點G，求證：FG+DC=AD；
（2）如圖2，若∠ABC=135°，過點F作FG∥BC，交直線AB于點G，則FG、DC、AD之間滿足的數量關系是______；
（3）在（2）的條件下，若AG=，DC=3，將一個45°角的頂點與點B重合并繞點B旋轉，這個角的兩邊分別交線段FG于M、N兩點（如圖3），連接CF，線段CF分別與線段BM、線段BN相交于P、Q兩點，若NG=，求線段PQ的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先證明∠CBE=∠DAC，∠AGF=∠BAD可推出FA=FG；
（2）與（1）證明方法同理；
（3）首先證明△FDC為等腰直角三角形，然后證明四邊形DFHB為矩形．根據三角函數的計算得出．
解答：證明：
（1）∵∠ADB=90°∠ABC=45°，
∴∠BAD=∠ABC=45°，
∴AD=BD
∵∠BEC=90°，
∴∠CBE+∠C=90°，
∵∠DAC+∠C=90°，
∴∠CBE=∠DAC，
∵GF∥BD，
∴∠AGF=∠ABC=45°，
∴∠AGF=∠BAD，
∴FA=FG，
∴FG+DC=FA+DF=AD；

解：（2）FG-DC=AD；

（3）如圖，
∵∠ABC=135°，
∴∠ABD=45°，
∵∠ADB=90°，
∴∠DAB=∠DBA=45°，
∴AD=BD，
∵FG∥BC，
∴∠G=∠DBA=∠DAB，
∴AF=FG
∴AG=5，FG²+AF²=AG²，
∴FG=AF=5
∵DC=3由（2）知FG-DC=AD，
∴AD=BD=2，BC=1，DF=3，
∴△FDC為等腰直角三角形
∴FC=，
分別過B，N作BH⊥FG于點H，NK⊥BG于點K，
∴四邊形DFHB為矩形，
∴HF=BD=2  BH=DF=3，
∴BH=HG=3，
∴BG=
∵sin∠G=，
∴NK=×=，
∴BK=
∵∠MBN=∠HBG=45°，
∴∠MBH=∠NBK，
∵∠MHB=∠NKB=90°，
∴△MBH∽△NBK
∴，
∴MH=1，
∴FM=1，
∵BC∥FG，
∴∠BCF=∠CFN，
∵∠BPC=∠MPF CB=FM，
∴△BPC≌△MPF，
∴PC=PF=FC=，
∵∠BQC=∠NQF，
∴△BCQ∽△NFQ，
∴，
∴，
∴CQ=FC==，
∴PQ=CP-CQ=．
點評：本題考查直角三角形的性質，矩形的性質，全等三角形的判定以及綜合分析、解答問題的能力，涉及到三角函數的計算，難度偏難．