Question

27、已知：△ABC的高AD所在直線與高BE所在直線相交于點F，過點F作FG∥BC，交直線AB于點G．
（1）如圖1，若△ABC為銳角三角形，且∠ABC=45°．
求證：①△BDF≌△ADC；
②FG+DC=AD；
（2）如圖2，若∠ABC=135°，直接寫出FG、DC、AD之間滿足的數量關系．

Answer 1

分析：（1）①要證明△BDF≌△ADC，如圖，在△ABD中，∠ABC=45°，AD⊥BC，可證BD=AD，∠BDF=∠ADC；
在△ADC中，可證得∠AFE=∠ACD，又∵∠AFE=∠BFD（對頂角相等），∴∠ACD=∠BFD；運用AAS，問題可證．
②由△BDF≌△ADC可證得DF=DC；∵AD=AF+FD，∴AD=AF+DC；由GF∥BD，∠ABC=45°，可證得AF=GF；于是問題可證．
（2）∵∠ABC=135°，∴∠ABD=45°，△ABD、△AGF皆為等腰直角三角形，∴FG=AF=AD+DF；DF=DC可通過證明△BDF≌△ADC得到，故可得：FG=DC+AD．

解答：解：（1）①證明：∵∠ADB=90°，∠ABC=45°，
∴∠BAD=∠ABC=45°，∴AD=BD；
∵∠BEC=90°，∴∠CBE+∠C=90°
又∵∠DAC+∠C=90°，∴∠CBE=∠DAC；
∵∠FDB=∠CDA=90°，∴△FDB≌△CDA（ASA）
②∵△FDB≌△CDA，∴DF=DC；
∵GF∥BD，∴∠AGF=∠ABC=45°，
∴∠AGF=∠BAD，
∴FA=FG；
∴FG+DC=FA+DF=AD．

（2）FG、DC、AD之間的數量關系為：FG=DC+AD．
理由：∵∠ABC=135°，∴∠ABD=45°，△ABD、△AGF皆為等腰直角三角形，
∴BD=AD，FG=AF=AD+DF；
∵∠FAE+∠DFB=∠FAE+∠DCA=90°，
∴∠DFB=∠DCA；
又∵∠FDB=∠CDA=90°，BD=AD，
∴△BDF≌△ADC（AAS）；
∴DF=DC，
∴FG、DC、AD之間的數量關系為：FG=DC+AD．

點評：本題綜合考查了三角形全等的判定和性質；利用三角形全等證明線段相等是經常使用的重要方法，注意掌握．