Question

23、已知：△ABC的高AD所在直線與高BE所在直線相交于點F．
（1）如圖1，若△ABC為銳角三角形，且∠ABC=45°，過點F作FG∥BC，交直線AB于點G，求證：FG+DC=AD；
（2）如圖2，若∠ABC=135°，過點F作FG∥BC，交直線AB于點G，則FG、DC、AD之間滿足的數量關系是

FG=DC+AD

．（只寫答案）

Answer 1

分析：（1）本題可采用截取的方法，先證明AF=GF，只要再證明DF=CD即可，這只要證明這兩條線段所在的三角形全等即可；
（2）結合（1）及圖形我們可猜測出：FG=DC+AD；證法同（1），先證△FDB≌△CDA，得DC=DF，進而可得出FG=DC+AD的結論．

解答：（1）證明：∵∠ADB=90°，∠ABC=45°，
∴∠BAD=∠ABC=45°；
∴AD=BD；
∵∠BEC=90°，∴∠CBE+∠C=90°；
∵∠DAC+∠C=90°，∴∠CBE=∠DAC；
∵∠FDB=∠CDA=90°，
∴△FDB≌△CDA；
∴DF=DC；
∵GF∥BD，
∴∠AGF=∠ABC；
∴∠AGF=∠BAD；
∴FA=FG；
∴FG+DC=FA+DF=AD．

（2）FG=DC+AD．
證法同（1）．

點評：此題考查的是等腰直角三角形以及全等三角形的判定和性質；通過全等三角形證得CD=DF是解答此題的關鍵．