Question

如圖，ABCD是菱形，對角線AC與BD相交于O，∠ACD=30°，BD=6．
（1）求證：△ABD是正三角形；
（2）求AC的長（結果可保留根號）．

Answer 1

【答案】分析：（1）菱形的邊AB=AD，即已知兩邊相等，再尋找一個角為60°，即可證明△ABD是正三角形；
（2）先求OC的長，再求AC．
解答：（1）證明：∵AC是菱形ABCD的對角線，
∴AC平分∠BCD．
∵∠ACD=30°，
∴∠BCD=60°．（1分）
∵∠BAD與∠BCD是菱形的一組對角，
∴∠BAD=∠BCD=60°．（2分）
∵AB、AD是菱形的兩條邊，
∴AB=AD．（3分）
∴△ABD是正三角形．（4分）

（2）解：∵O為菱形對角線的交點，
∴AC=2OC，OD=BD=3，∠COD=90°．（5分）
在Rt△COD中，=tan∠OCD=tan30°，
∴OC===3．（6分）
∴AC=2OC=．
答：AC的長為．（7分）
點評：此題主要考查菱形的性質和等邊三角形的判定．