Question

已知，如圖四邊形ABCD是菱形，過(guò)AB的中點(diǎn)E作AC的垂線(xiàn)EF，交AD于點(diǎn)M，交CD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，垂足為O．
求證：（1）M是AD的中點(diǎn)；
（2）DF=

1

2

CD．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)EF⊥AC，可判斷出EM是△ABD的中位線(xiàn)，繼而可證得結(jié)論．
（2）由（1）得，△AME≌△DMF，則DF=AE=

1

2

CD．

解答：證明：（1）連接BD，

∵四邊形ABCD是菱形，
∴AO平分∠BAD，AC⊥BD，
∵EF⊥AC，點(diǎn)E是AB中點(diǎn)，
∴EM是△ABD的中位線(xiàn)，
∴M是AD的中點(diǎn)；
（2）在△AME和△DMF中，
∵∠EAM=∠FDM，AM=DM，∠AME=∠DMF，
∴△AME≌△DMF，
∴DF=AE，
∵AE=

1

2

AB=

1

2

CD，
∴DF=

1

2

CD．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰三角形的判定以及全等三角形的證明，是中等題．