Question

以AB為直徑作半圓O，AB=10，點C是該半圓上一動點，聯結AC、BC，并延長BC至點D，使DC=BC，過點D作DE⊥AB于點E、交AC于點F，聯結OF．

（1）如圖①，當點E與點O重合時，求∠BAC的度數；

（2）如圖②，當DE=8時，求線段EF的長；

（3）在點C運動過程中，若點E始終在線段AB上，是否存在以點E、O、F為頂點的三角形與△ABC相似，若存在，請直接寫出此時線段OE的長；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

解：（1）聯結OC

∵C為DB中點     ∴OC=BC=OB

∴△OBC是等邊三角形

∴∠B=60°

∵AB為直徑

∴∠ACB=90°

∴∠BAC=30°       

 （2）聯結DA

∵AC垂直平分BD

∴AB=AD=10

∵DE=8，DE⊥AB

∴AE=6

∴BE=4

∵∠FAE+∠AFE=90°，∠CFD+∠CDF=90°

∴∠CDF=∠EAF

∵∠AEF=∠DEB=90°

∴△AEF∽△DEB

∴

∴EF=3                         -

（3）①當交點E在O、A之間時，

若∠EOF=∠BAC，則OE=

若∠EOF=∠ABC，則OE=

②當交點E在O、B之間時，OE=

綜上所述，OE=或或