Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB為直徑作半圓O，交斜邊AC于點D．
（1）若AD=3，AB=5，求BC的長；
（2）取BC的中點E，連接ED，試證明ED與⊙O相切．

Answer 1

分析：（1）連接BD，根據AB為直徑即可證明∠ADB=∠ABC=90°，證明△DAB∽△BAC，根據相似三角形對應邊的比相等即可求解；
（2）證明ED與⊙O相切，即可連接OD證明OD⊥DE即可．

解答：（1）解：連接BD
方法一：∵AB為直徑，
∴∠ADB=90°，（1分）
∵AD=3，AB=5，
∴BD=4，（2分）
在Rt△ABD中，tan∠ABD=

AD

BD

=

3

4

，
又∵∠ABD=∠ACB，
tan∠ACB=

3

4

=

AB

BC

，（3分）
∴BC=

4•AB

3

=

20

3

，（4分）
方法二：∵AB為直徑，
∴∠ADB=90°，（1分）
∵∠ABC=90°，
∴∠ADB=∠ABC，
又∵∠DAB=∠BAC，
∴△DAB∽△BAC，（2分）
∴

AD

AB

=

BD

BC

，
∴

AD

AB

=

BD

BC

，
∴

3

5

=

4

BC

，
∴BC=

20

3

；（4分）

（2）證明：
方法一：連接OD，
∵∠ADB=90°，
∴∠CDB=90°，
∵點E是BC的中點，
∴DE=BE，
∴∠EDB=∠EBD，（5分）
∵OB=OD，
∴∠ODB=∠OBD，（6分）
∴∠ODB+∠EDB=∠OBD+∠EBD=90°，（7分）
即OD⊥ED，（8分）
∴ED與⊙O相切．（9分）
方法二：連接OE，OD，
∵是BC的中點，∠BDC=90°，
∴DE=BE，（5分）
又∵OD=OB，OE=OE，
∴△ODE≌△OBE，（6分）
∴∠ODE=∠OBE=90°，（7分）
即OD⊥ED，（8分）
∵D在⊙O上，
∴ED與⊙O相切．（9分）

點評：本題主要考查了相似三角形的性質，以及切線的判定，切線的判定常用的方法是利用切線的判定定理轉化為證明垂直的問題．