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【題目】如圖,在等腰Rt△ABC中,∠ABC=90°,ABBC.點D是線段AC上一點,連接BD.過點CCEBD于點E.點FAB垂直平分線上一點,連接BFEF

(1)若AD=4,tan∠BCE,求AB的長;

(2)當點FAC邊上時,求證:∠FEC=45°.

【答案】(1) AB=18;(2)證明見解析;

【解析】

(1)先過點DDMAB于點M,構造等腰直角三角形,求得DMAM=4,再根據∠ABD=∠BCE,得出tan∠BCE=tan∠ABD求得BM=14,進而根據ABAM+BM進行計算;

(2)在CE上截取CNBE,連接FN先判定△BEF≌△CFN,得出△EFN是等腰直角三角形,根據等腰三角形的性質即可得到結論

1)如圖過點DDMAB于點M

∵∠ABC=90°,ABBC,∴∠A=45°,∴AMDM

AD=4,∴DMAMAD=4.

CEBD,∴∠BEC=90°=∠ABC,∴∠BCE+∠EBC=90,∠EBC+∠ABD=90°,∴∠ABD=∠BCE,∴tan∠BCE=tan∠ABD,∴BM=14,∴ABAM+BM=4+14=18;

(2)∵FAB的垂直平分線上的點,∴AFBF,∴∠A=∠ABF=45°.

∵∠ABC=90°,∴∠FBC=45°,∴∠FBC=∠FCB,且∠ABD=∠BCE,∴BFCF,∠EBF=∠ECF如圖CE上截取CNBE,連接FN

BFCF,∠EBF=∠ECF,∴△BEF≌△CFN,(SAS),∴FNEF,∠BFE=∠CFN

∵∠FCB=∠FBC=45°,∴∠BFC=90°,∴∠CFN+∠BFN=90°,∴∠BFE+∠BFN=90°,∴∠EFN=90°,EFFN,∴△EFN是等腰直角三角形,∴∠FEC=45°.

練習冊系列答案
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1)求BC兩點間的距離.

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A. 18cm2 B. 12cm2 C. 9cm2 D. 3cm2

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