Question

已知：m是非負數，拋物線y=x²-2（m+1）x-（m+3）的頂點Q在直線y=-2x-2上，且和x軸交于點A、B（點A在點B的左側）．
（1）求A、B、Q三點的坐標．
（2）如果點P的坐標為（1，1）．求證：PA和直線y=-2x-2垂直．
（3）點M（x，1）在拋物線上，判斷∠AMB和∠BAQ的大小關系，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）可根據公式法，表示出拋物線的頂點坐標，已知拋物線頂點在直線y=-2x-2上，可將頂點Q的坐標代入直線的解析式中，即可求得m的值，由此確定拋物線的解析式，進而得到A、B、Q三點的坐標；
（2）將A點坐標代入直線y=-2x-2中發現，A點正好在此直線的函數圖象上；可根據A、P、Q三點的坐標，分別求出AP、AQ、PQ的長，然后用勾股定理來判斷△APQ是否為直角三角形，由此可得出本題所求的結論；
（3）根據拋物線的解析式，可確定點M的坐標，進而可求得PM的長，此時發現PM=PA=PB，那么M、A、B三點共圓，在（2）中已經證得PA⊥AQ，則AQ是⊙P的切線，由弦切角定理即可得到∠AMB=∠BAQ．

解答：解：（1）設拋物線的頂點Q的坐標是（x，y），
則x=-

-2(m+1)

2

=m+1，y=

-4(m+3)-[-2(m+1)]2

4

=-m²-3m-4；
∵點Q（m+1，-m²-3m-4）在直線y=-2x-2上，
∴-m²-3m-4=-2（m+1）-2，
解得m₁=0，m₂=-1；
∵m是非負數，舍去m₂=-1，
∴m=0；
∵拋物線解析式為y=x²-2x-3，令y=0，
∴得x²-2x-3=0，
解得x₁=-1，x₂=3，
∴A（-1，0），B（3，0），Q（1，-4）；

（2）如圖，∵拋物線的對稱軸是直線x=1，
∴P點在對稱軸上，
∴PQ=|1-（-4）|=5；
把A（-1，0）代入y=-2x-2，-2x（-1）-2=0成立，
∴A點在直線y=-2x-2上；
設PQ交x軸于點D，則PQ⊥AB；
在Rt△ADQ中，AQ²=AD²+QD²=20，
在Rt△APD中，AP²=AD²+PD²=5，
∴AQ²+AP²=20+5=25=PQ²；
∴△PAQ是直角三角形，∠PAQ=90°；
∴PA⊥AQ，
∴PA和直線y=-2x-2垂直；

（3）答：∠AMB=∠BAQ；
解法一：
M（x，1）在拋物線y=x²-2x-3上，
∴1=x²-2x-3，
解得x=1±

5

，
∴點M的坐標為（1+

5

，1），PM=|1+

5

-1|=

5

，
∴PA=PM=PB=

5

；
于是點A、M、B都在以點P為圓心，

5

為半徑的圓上，如圖，
∵AQ⊥AP，
∴AQ是⊙P的切線，
∴∠BAQ=∠AMB；
當x=1-

5

時，點M的坐標為（1-

5

，1）；
同理可得∠BAQ=∠AMB．（15分）
解法二；當x=1+

5

時，作ME⊥x軸于點E，如圖，則點E的坐標為（1+

5

，0）；
于是ME=1，EA=1+

5

+1=2+

5

，
AM=

ME2+EA2

=

12+(2+ 5 )2

=

10+4 5

，
連接BM，作BF⊥AM于F，AB=|3-（-1）|=4，
則S_△ABM=

1

2

ME•AB=

1

2

AM•BF
∴1×4=

10+4 5

•BF
∴BF=

4

10+4 5

在△MBE中，∠MEB=90°，
BM=

BE2+ME2

=

(1+ 5 -3)2+12

=

10-4 5

在△BFM中，∠BFM=90°，
sin∠BMF=

BF

BM

=

4 10+4 5

10-4 5

=

4

10-4 5 • 10+4 5

=

2

5

在△DAQ中，∠ADQ=90°，
∵sin∠DAQ=

DQ

AQ

=

2

5

，
∴sin∠BMF=sin∠DAQ
而∠BMF、∠DAQ都是銳角，
∴∠BMF=∠DAQ，即∠AMB=∠BAQ；
當x=1-

5

時，同解法一．

點評：此題主要考查了二次函數解析式的確定、勾股定理、直角三角形的判定和性質、切線的判定、弦切角定理等重要知識點，綜合性強，難度較大．