Question

13．如圖，點A為函數y=$\frac{9}{x}$（x＞0）的圖象上一點，連接OA，交函數y=$\frac{1}{x}$（x＞0）的圖象于點B，點C是x軸上一點，且AO=AC，則△ABC的面積是（　　）

• A． $\frac{9}{2}$
• B． 9
• C． 6
• D． 3

Answer 1

分析 作輔助線，根據反比例函數關系式得：S_△AOD=$\frac{9}{2}$，S_△BOE=$\frac{1}{2}$，再證明△BOE∽△AOD，由性質得OB與OA的比，由同高兩三角形面積的比等于對應底邊的比可以得出結論．

解答 解：過A作AD⊥x軸于D，過B作BE⊥x軸于E，
∴BE∥AD，
∴△BOE∽△AOD，
∴$\frac{{S}_{△BOE}}{{S}_{△AOD}}$=$\frac{O{B}^{2}}{O{A}^{2}}$，
∵OA=AC，
∴OD=DC，
∴S_△AOD=S_△ADC=$\frac{1}{2}$S_△AOC，
∵點A為函數y=$\frac{9}{x}$（x＞0）的圖象上一點，
∴S_△AOD=$\frac{9}{2}$，
同理得：S_△BOE=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{{S}_{△BOE}}{{S}_{△AOD}}$=$\frac{\frac{1}{2}}{\frac{9}{2}}$=$\frac{1}{9}$，
∴$\frac{OB}{OA}$=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{AB}{OA}$=$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{{S}_{△ABC}}{{S}_{△AOC}}$=$\frac{2}{3}$，
∴S_△ABC=$\frac{2×9}{3}$=6，
故選C．

點評 此題考查了反比例函數的幾何意義，屬于基礎題，關鍵是掌握在反比例函數的圖象上任意一點象坐標軸作垂線，這一點和垂足以及坐標原點所構成的三角形的面積是$\frac{1}{2}$|k|，且保持不變．