Question

如圖所示，邊長為2的正三角形與邊長為1的正六邊形重疊，且正六邊形的中心是正三角形的一個頂點，則重疊部分的面積為（　　）

• A、

  3

  6

• B、

  3

  4

• C、

  3

  3

• D、因缺少數據無法計算

Answer 1

分析：連接CI，設BC與ID的交點為M，AC與HI的交點為N，根據正六邊形的中心到各頂點的距離相等可得CD=CI，再根據∠ACB=∠ICD=60°可以證明∠1=∠3，然后即可證明△CDM與△CIN全等，從而得到重疊部分的面積等于以正六邊形的邊長為邊的等邊三角形的面積，求出即可進行選擇．

解答：解：如圖，連接CI，設BC與ID的交點為M，AC與HI的交點為N，
根據正六邊形與等邊三角形的性質可得，CD=CI，
∠ICD=∠ACB=∠IDC=∠NIC=60°，
∵∠ICD=∠1+∠2，∠ACB=∠2+∠3，
∴∠1=∠3，
在△CDM和△CIN中，

∠IDC=∠NIC=60° CD=CI ∠1=∠3

，
∴△CDM≌△CIN（ASA），
∴S_△CDM=S_△CIN，
∴重疊部分的面積是以正六邊形的邊長為邊的等邊三角形的面積，
∵正六邊形的邊長為1，
∴底邊上的高為

12-( 1 2 )2

=

3

2

，
∴面積為

1

2

×1×

3

2

=

3

4

．
故選B．

點評：本題考查了全等三角形的判定和性質，正六邊形的性質以及等邊三角形的性質，證明重疊部分的面積等于以正六邊形的邊長為邊的等邊三角形的面積是解題的關鍵，也是本題的突破口．