Question

（滿分14分）如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O分別交BC、AC于D、E兩點，過點D作DF⊥AC，垂足為點F．

小題1:（1）求證：DF是⊙O的切線；
小題2:（2）若弧AE=弧DE，DF=2，求弧AD的長.

Answer 1

小題1:（1）證明：連結OD
∵AB=AC，∴∠C=∠B.………………………………………………2分
∵OD=OB，∴∠B=∠1.
∴∠C=∠1. ………………………………………………………3分
∴OD∥AC，∴∠2=∠FDO. …………………………… …………4分
∵DF⊥AC，∴∠2=90°，∴∠FDO=90°，
即FD⊥OD且D點在⊙O 上---------------------------------5分
∴FD是圓O的切線.……………………………………6分
小題2:（2）∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=90°.…………7分
∵AC=AB，∴∠3=∠4………………………………8分
∴，∵，∴……………9分
∴∠B=2∠4，∴∠B=60°，∠5=120°，
∴△ABC是等邊三角形, ∠C=60°.………………………11分
在Rt△CFD中,sinC=,CD=，
∴DB=，AB=BC=∴AO=.……………………13分
∴.………………………………………14分

略