Question

某工廠以每噸3000元的價格購進50噸原料進行加工．若進行粗加工，每噸加工費600元，需天，每噸售價4000元；若進行精加工，每噸加工費900元，需天，每噸售價4500元，現將這50噸原料全部加工完，且必須在20天內完成．
（1）如何生產才能獲得最大利潤，最大利潤是多少？
（2）若粗加工后的產品、精加工后的產品每噸售價都可以提高m元，要使利潤超過30000元，m的最小值是多少？

Answer 1

解（1）設粗加工x噸，加工總獲利y元，則精加工（50-x）噸，由題意得：
y=（4000-3000-600）x+（4500-3000-900）（50-x），
整理，得y=-200x+30000．
∵x+（50-x）≤20，
∴x≥30．
∵x≤50，
∴30≤x≤50．
∵y=-200x+30000，
∴k=-200＜0，
∴y隨x的增大而減小，
∴當x=30時，y最大，
y_最大=-200×30+30000=24000元，
粗加工的天數：×30=10天，
精加工的天數：（50-30）=10天．
∴精、粗加工各10天，可以獲得最大利潤24000元；

（2）由題意，得
50m+24000＞30000，
解得：m＞120．
∴m的最小值為120元．
分析：（1）設粗加工x噸，加工總獲利y元，則精加工（50-x）噸，根據利潤等于售價減進價乘以數量就可以得出結論，再根據時間建立不等式求出其取值范圍；
（2）根據題意可以表示出粗加工的利潤和精加工的利潤，再根據其利潤和大于30000建立不等式求出其解就可以了．
點評：本題考查了利用利潤問題的數量關系建立函數關系式的運用，不等式及不等式組的解法及意義的運用，在解答本題時建立不等式求出取值范圍是關鍵．