Question

【題目】綜合與實踐：

已知點D為等邊△ABC 的邊AB所在直線上一動點（點D與點A和點B不重合），連接CD，以CD為邊在CD上方作等邊△CDE，連接 AE．

操作發現：

（1）如圖1，點D在邊AB上，則 AE與BD 有怎樣的數量關系？ 說明理由；

類比猜想：

（2）如圖2，若點D在邊BA延長線上，則 AE與BD有怎樣的數量關系？ 說明理由；

拓廣探究：

（3）如圖3，點D在邊AB上，以CD為邊分別在CD下方和上方作等邊△CDF 和等邊△CDE，連接 AE，BF，直接寫出AE，BF與 AB的數量關系．

Answer 1

【答案】（1），理由詳見解析；（2），理由詳見解析；（3）．

【解析】

（1）根據等邊三角形的性質可得AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE，再求出，然后利用“邊角邊”證明△ACE和△BCD全等，根據全等三角形對應邊相等證明即可；
（2）證明方法同（1）；
（3）先證明△ACD≌△BCF，所以AD＝BF，由（1）知：AE＝BD，相加可得結論．

解：（1），理由如下：

∵和都是等邊三角形，

∴，，．

∴．

即．

在和中，

∴≌（）

∴．

（2），理由如下：

∵和都是等邊三角形，

∴，，．

∴．

即．

在和中，

∴≌（）

∴．

（3）．理由是：

∵△ABC和△CDF都是等邊三角形，

∴AC＝BC，CD＝CF，∠ACB＝∠DCF＝60°，

∴∠ACD＝∠BCF，

在△ACD和△BCF中，

∴△ACD≌△BCF（SAS），

∴AD＝BF，

由（1）知：AE＝BD，

∴AB＝BD＋AD＝AE＋BF．