Question

（本題滿分9分）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BE平分∠ABC交AC于點E，點D在AB上，DE⊥EB．

（1）求證：AC是△BDE的外接圓的切線；

（2）若AD=，AE=，求EC的長．

 

Answer 1

（1）證明見試題解析；（2）．

【解析】

試題分析：（1）取BD中點O，連接OE，求出∠CBE=∠EBO，∠OEB=∠EBO，推出∠OEB=∠CBE，推出OE∥BC，求出OE⊥AC，根據切線的判定推出即可；

（2）設⊙O半徑為R，在Rt△AOE中，由勾股定理得出，求出，求出∠A=30°，∠CBE=∠OBE=30°，推出EC=BE =，代入求出即可．

解答：（1）證明：取BD中點O，連接OE，

∵∠DEB=90°，∴BD為直徑，∴BD的中點O為外接圓的圓心．

∵BE平分∠ABC，∴∠CBE=∠EBO，

∵OE=OB，∴∠OEB=∠EBO，∴∠OEB=∠CBE，∴OE∥BC，

∵BC⊥AC，∴OE⊥AC，

∵OE為半徑，∴AC是△BDE的外接圓的切線；

（2）【解析】
設⊙O半徑為R，

則在Rt△AOE中，由勾股定理得：OA2=AE2+OE2，

即，解得：，∴OA=2OE，∴∠A=30°，∠AOE=60°，

∴∠CBE=∠OBE=30°，∴EC=BE=．

考點：1．切線的判定；2．勾股定理．