Question

如圖，直角坐標系中，菱形ABCD的頂點C與原點O重合，點B在y軸的正半軸上，點A在雙曲線y=

k

x

（x＞0）上，tanA=

4

3

，若菱形ABCD向右平移5個單位后，點D也恰好落在此雙曲線上，則k=

 

．

Answer 1

考點：反比例函數綜合題

專題：綜合題

分析：延長DD′交y軸于E，延長AD交x軸于F，根據菱形的性質得OD=AD，∠A=∠BCD，由菱形ABCD向右平移5個單位得DE⊥y軸，根據正切的定義得到tan∠ECD=tan∠A=

ED

OE

=

4

3

，
可設ED=4a，則OE=3a，根據勾故定理計算出CD=5a，可得到A點坐標為（4a，8a），D′的坐標為（4a+5，3a），再根據反比例函數圖象上點的坐標特征得到4a•8a=3a（4a+5），解得a=

3

4

（a=0舍去），則可確定A點坐標，然后把A點坐標代入反比例解析式可求得k的值．

解答：解：延長DD′交y軸于E，延長AD交x軸于F，如圖，
∵四邊形ABCD為菱形，
∴OD=AD，∠A=∠BCD，
∵菱形ABCD向右平移5個單位，
∴DE⊥y軸，
在Rt△CDE中，tan∠ECD=tan∠A=

ED

OE

=

4

3

，
設ED=4a，則OE=3a，
∴CD=

(4a)2+(3a)2

=5a，
∴AD=5a，DF=3a，
∴A點坐標為（4a，8a），
∴D′的坐標為（4a+5，3a），
∵點A和點D′在雙曲線y=

k

x

（x＞0）上，
∴4a•8a=3a（4a+5），
∴a=

3

4

（a=0舍去），
∴A點坐標為（3，6），
把A（3，6）代入y=

k

x

得k=3×6=18．
故答案為18．

點評：本題考查了反比例函數的綜合題：點在反比例函數圖象上，則點的坐標滿足其解析式；熟練掌握菱形的性質和銳角三角函數的定義；利用勾股定理進行幾何計算．